コンパウンド・オプションの保有者は、第一権利行使日\(T_1 \)において、第一権利行使価格\( K_1\)にて、原オプションを購入もしくは売却する権利を有する。

このとき、第一権利行使日\( T_1\)における原オプション価値が、第一権利行使価格\( K_1\)を上回るとき、コンパウンド・オプションは行使される。

さらにこの原オプションは、第二権利行使日\(T_2 \)において、第二権利行使価格\( K_2\)で、原資産を購入もしくは売却する権利である。

以下では、コールオプションを買う権利、つまりコールオプションのコールオプションの価格を解析的に表現し、それを用いてPythonで計算する。

コンパウンド・オプションの解析解

コール・オプションに対するヨーロピアン・コール・オプションの価格は、 \begin{eqnarray*} S_0e^{-qT_2}M(a_1,b_1;\sqrt{T_1/T_2})-K_2e^{-rT_2}M(a_2,b_2;\sqrt{T_1/T_2})-K_1e^{-rT_1}N(a_2) \end{eqnarray*}

で表される[1]。

ただし、\( M(a,b;\rho)\)は相関係数\( \rho\)の二次元正規分布の累積分布関数であり、第一変数が\( a\)以下かつ、第二変数が\( b\)以下のときの値である。

また、

\begin{eqnarray*} a_1&=&\frac{\ln(S_{0}/S^*)+(r-q+\sigma^2/2)T_1}{\sigma\sqrt{T_1}}\\ a_2&=&a_1-\sigma\sqrt{T_1}\\ b_1&=&\frac{\ln(S_{0}/K_2)+(r-q+\sigma^2/2)T_2}{\sigma\sqrt{T_2}}\\ b_2&=&b_1-\sigma\sqrt{T_2} \end{eqnarray*} であり、変数\(S^* \)は\( C_{T_{1}}(S_{T_1},K_2,T_{2}-T_{1})=K_1\)を満たす\( S_{T_1}\)、つまり原オプションが時点\(T_1 \)でAt-The-Moneyとなるような原資産価格である。

Pythonでのコード例

まず必要なモジュールをインポートする。

scipy.stats.normは一次元正規分布の累積密度関数を、scipy.stats.mvnは二次元の正規分布の累積密度関数を使用するために必要である。

また、scipyに組み込まれたいくつかの関数と、方程式を解くためのサブモジュールscipy.optimizeをインポートする。

さらに、数値の組を扱うための配列を呼び出すため、numpyをインポートする。

from scipy.stats import norm, mvn
from scipy import exp,log,sqrt,optimize,pi,sign
import numpy as np

基本的なブラック･ショールズ式の関数を定義する。

これは変数\( S^*\)を計算するために必要である。

def BS_Call(S, sigma ,r,q,T,K):
    d1 = (log(S / K) + (r -q+ sigma**2 / 2) * T) / (sigma * sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * sqrt(T)
    BS_Call = S * exp(-q * T) * norm.cdf(x=d1, loc=0, scale=1) \
             -K * exp(-r * T) * norm.cdf(x=d2, loc=0, scale=1)
    return BS_Call

変数\( S^*\)を計算するために\( C_{T_{1}}(S_{T_1},K_2,T_{2}-T_{1})=K_1\)を解く必要がある。

左辺を移行し、\( h(S_{sol})=C_{T_{1}}(S_{sol},K_2,T_{2}-T_{1})-K_1=0\)として方程式を解くため、関数を定義する。

def h(S_sol):
    return BS_Call(S_sol, sigma ,r,q,T2-T1,K2)-K1

二次元正規分布の累積分布関数を定義する。

第一変数が\( a\)、第二変数が\( b\)、相関係数が\( c\)であるときの、scipy.stats.mvnモジュールを用いた二次元正規分布の累積分布関数\( M_{MVN}(a,b;c)\)は、以下のようにコーディングすればよい。

def M_MVN(a,b,c):
    mean = np.array([0,0])
    Sigma = np.array([[1,c],[c,1]])
    lower=np.array([-10000,-10000])
    upper=np.array([a,b])
    p,i=mvn.mvnun(lower,upper,mean,Sigma)   
    return p

以上を踏まえ、コール・オン・コール・コンパウンド・オプションの価格は、以下のようなプログラムで計算可能である。

def CoC_AN_MVN(S0,T1,T2,K1,K2):
    S_star=float(optimize.fsolve(h,100)) #配列形式を数値に変換
    a1 = (log(S0 / S_star) + (r-q + sigma**2 / 2) * T1) / (sigma * sqrt(T1))
    a2 = a1 - sigma * sqrt(T1)
    b1 = (log(S0 / K2) + (r-q + sigma**2 / 2) * T2) / (sigma * sqrt(T2))
    b2 = b1 - sigma * sqrt(T2)
    CoC_AN = S0  * exp(-q * T2)*M_MVN(a1,b1,sqrt(T1/T2))\
          - K2 * exp(-r * T2) *M_MVN(a2,b2,sqrt(T1/T2))\
          -K1* exp(-r * T1) *norm.cdf(x=a2, loc=0, scale=1)
    return CoC_AN

計算結果

以下のインプットで計算する。

S0=100
sigma=30/100
r=5/100
q=0/100
T1=1
T2=2
K1=20
K2=100
rho=0.3
SampleT1=100
SampleT2=100
SampleOP=100

計算結果は以下の通り。

>>> CoC_AN_MVN(S0,T1,T2,K1,K2)
9.1383287801281021

検算（『フィナンシャルエンジニアリング』の結果と照合）

『フィナンシャルエンジニアリング』[1]に付属しているソフトウェアDerivaGemを用いると、様々な金融商品を評価することが出来る。

コンパウンド・オプションの価格も計算可能である。

本節では前節での計算結果が、DerivaGemの計算結果と一致することを確かめる。

DevivaGemをCD-ROMからインストールすると、3つのExcelマクロファイルが利用できる。そのうちDG300 functions.xlsを開く。