対数正規分布の和、幾何ブラウン運動の和、リスク資産ポートフォリオ



対数正規分布に従う確率変数の和の分布は、対数正規分布になるとは限らない(再生性がない)。

一方、幾何ブラウン運動に従う確率過程は、時点を1つ固定したときの確率変数の分布が対数正規分布となるが、幾何ブラウン運動に従う確率過程の和の確率過程は、再び幾何ブラウン運動に従う。

本記事では上記内容を示す。

ファイナンスにおいては、リスク資産の価格過程を幾何ブラウン運動と仮定することが多いため、ポートフォリオは幾何ブラウン運動の和と考えることが出来る。




対数正規分布の和、非再生性

対数正規分布に従う確率変数の和の分布は、対数正規分布に従わない。

同じ分布族に属する複数の確率変数の和の分布が、再びその分布族に属するとき、再生性をもつ、という。

たとえば、確率変数\( X_1\)と\( X_2\)がそれぞれ正規分布\(N(\mu_1,\sigma_1^2) \)と\(N(\mu_2,\sigma_2^2) \)に従うとき、2つの確率変数の和\(X_1+X_2 \)は正規分布\(N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) \)に従うので、「正規分布は再生性をもつ」という。

対数正規分布は、再生性をもたない。以下ではそれを簡単に説明する。

ある確率変数が対数正規分布に従うとき、その確率変数の対数として定まる確率変数は、正規分布に従う。

つまり、確率変数\( Y_1\)が対数正規分布に従うとき、その対数\(\log(Y_1) \)が正規分布にしたがう。

確率変数\( Y_1\)、\( Y_2\)がそれぞれ対数正規分布に従い、それらの対数\(\log(Y_1) \)と\(\log(Y_2) \)がそれぞれ正規分布\(N(\mu_1,\sigma_1^2) \)と\(N(\mu_2,\sigma_2^2) \)に従うとする。

このとき、\( Y_1\)と\( Y_2\)の和は、はたして対数正規分布に従うだろうか?

\(\log(Y_1) \)と\(\log(Y_2) \)はそれぞれ正規分布\(N(\mu_1,\sigma_1^2) \)と\(N(\mu_2,\sigma_2^2) \)に従うので、それらの和\(\log(Y_1)+\log(Y_2) \)は正規分布\(N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) \)に従う。

よって、\(e^{\log(Y_1)+\log(Y_2)} \)は対数正規分布に従うことがわかる。

一方、
\[ \begin{split}  Y_1+Y_2=e^{\log(Y_1+Y_2)}\neq e^{\log(Y_1)+\log(Y_2)} \end{split} \]であるから、\( Y_1+Y_2\)は必ずしも対数正規分布に従うとは限らず、よって対数正規分布は(和に関して)再生性を持たない。

ただし、
\[ \begin{split}  Y_1Y_2&=e^{\log(Y_1Y_2)}\\ &=e^{\log(Y_1)+\log(Y_2)} \end{split} \]であり、\(\log(Y_1Y_2)= \log(Y_1)+\log(Y_2)\)であって、右辺は正規分布に従っているので、\( \log(Y_1Y_2)\)は正規分布にしたがい、定義から\(Y_1Y_2 \)は対数正規分布に従う。

よって、対数正規分布に従う確率変数の積は、対数正規分布に従う(積について再生性をもつ)。




幾何ブラウン運動の和

確率過程\( \{S_t\}\)が幾何ブラウン運動に従うとは、標準ブラウン運動を\( dz_t\)として\[ \begin{split} dS_t=\mu S dt+\sigma S dz_t\end{split} \]と表せることをいう。

伊藤の公式を用いた計算により、\[ \begin{split} S_t=S_0e^{\left( \mu -\frac{ 1}{ 2}\sigma^2\right)t+\sigma z_t}\end{split} \]と表せる。

対数をとると\[ \begin{split}  \log(S_t)=\log(S_0)+\left( \mu -\frac{ 1}{ 2}\sigma^2\right)t+\sigma z_t \end{split} \]であり、\( z_t\)は正規分布に従うことから、\( S_t\)は対数正規分布に従うことがわかる。

つまり、幾何ブラウン運動に従う確率過程は、時点を1つ固定したときの確率変数の分布が対数正規分布となる。

前述の通り、対数正規分布に従う確率変数の和の分布は、対数正規分布にならなかった。しかし、幾何ブラウン運動に従う確率過程の和は、再び幾何ブラウン運動に従う。以下ではこれを説明する。

確率過程\( \{S_{1,t}\}\)と\( \{S_{2,t}\}\)が、幾何ブラウン運動\[ \begin{split} dS_{1,t}&=\mu_1 S_{1,t} dt+\sigma_1 S_{1,t} dz_t\\ dS_{2,t}&=\mu_2 S_{2,t} dt+\sigma_2 S_{2,t} dz_t \end{split} \]に従うとする。

また、これらの和として定義される確率過程を\(W_t= S_{1,t}+S_{2,t}\)とする。
\[ \begin{split} W_t&= S_{1,t}+S_{2,t}\\ &=S_{1,0}e^{\left( \mu_1 -\frac{ 1}{ 2}\sigma_1^2\right)t+\sigma_1 z_t}+S_{2,0}e^{\left( \mu_2 -\frac{ 1}{ 2}\sigma_2^2\right)t+\sigma_2 z_t}\end{split} \]と表せるので、これらの\( W_t\)の各種偏微分 \[ \begin{split} \frac{ \partial W_t}{\partial  t }&=S_{1,t}\left(\mu_1 -\frac{ 1}{ 2}\sigma_1^2 \right)+S_{2,t}\left(\mu_2 -\frac{ 1}{ 2}\sigma_2^2 \right)\\ \frac{ \partial W_t}{\partial z_t }&=S_{1,t}\sigma_1+S_{2,t}\sigma_2\\ \frac{ \partial^2 W_t}{\partial z_t^2 }&=S_{1,t}\sigma_1^2+S_{2,t}\sigma_2^2\end{split} \]に注意すると、伊藤の公式より
\[ \begin{split} dW_t&=\left\{ S_{1,t}\left(\mu_1 -\frac{ 1}{ 2}\sigma_1^2 \right)+S_{2,t}\left(\mu_2 -\frac{ 1}{ 2}\sigma_2^2 \right)\right\}dt\\
&~~+\left\{ S_{1,t}\sigma_1+S_{2,t}\sigma_2\right\}dz_t\\
&~~+\frac{ 1}{ 2}\left\{ S_{1,t}\sigma_1^2+S_{2,t}\sigma_2^2\right\}(dz_t)^2\\
&=\left( S_{1,t}\mu_1+S_{2,t}\mu_2\right)dt+\left(S_{1,t}\sigma_1+S_{2,t}\sigma_2 \right)dz_t\\
&=dS_{1,t}+dS_{2,t}\end{split} \]となる。さらに計算を続けると、
\[ \begin{split} dW_t&=dS_{1,t}+dS_{2,t}\\ &=S_{1,t}\frac{dS_{1,t} }{ S_{1,t}}+S_{2,t}\frac{dS_{2,t} }{ S_{2,t}}\\ &=\left\{ \frac{S_{1,t} }{ S_{1,t}+S_{2,t}}\frac{dS_{1,t} }{ S_{1,t}}+\frac{S_{2,t} }{ S_{1,t}+S_{2,t}}\frac{dS_{2,t} }{ S_{2,t}}\right\}\left( S_{1,t}+S_{2,t}\right)\\ &=\left(\omega_1\frac{dS_{1,t} }{ S_{1,t}}+\omega_2\frac{dS_{2,t} }{ S_{2,t}} \right)W_t\\ &= \left( \omega_1\mu_1+\omega_2\mu_2\right)W_tdt+\left( \omega_1\sigma_1+\omega_2\sigma_2\right)W_tdz_t\\\end{split} \]となる。ただし\(\omega_i=\frac{ S_{i,t}}{ S_{1,t}+S_{2,t}},i=1,2 \)は時点\(t \)における\( W_t\)に対する\( S_{i,t}\)の比率をあらわす。

この結果から、\( W_t\)は幾何ブラウン運動に従うことがわかる。

よって、幾何ブラウン運動に従う確率過程の和の確率過程は、再び幾何ブラウン運動に従うことがわかった。




リスク資産のポートフォリオ

ブラック・ショールズモデルのように、ファイナンスではリスク資産の価格過程として幾何ブラウン運動を仮定することが多い。

したがって、リスク資産のポートフォリオの価値は、幾何ブラウン運動の和として表現される。

前述の通り、幾何ブラウン運動の和は再び幾何ブラウン運動に従うので、リスク資産のポートフォリオの価値過程もまた、幾何ブラウン運動となる。

マートンのポートフォリオ問題と呼ばれる、最適なポートフォリオを見つけるための確率制御問題は、リスク資産の価格過程(と、ポートフォリオの価値過程)が幾何ブラウン運動に従うことが非常に重要となる。

詳細は、参考文献の1冊目のテキストを参照のこと。

参考文献







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