ベルヌーイ型微分方程式の解き方

この記事ではベルヌーイ型微分方程式と呼ばれる微分方程式の解き方について述べる。

ベルヌーイ型微分方程式は変数変換によって一階線形微分方程式に帰着できるので、その解法も合わせて述べる。

目次





ベルヌーイ型微分方程式とは

ベルヌーイ型微分方程式とは、以下のような形をした微分方程式のことをいう。
\begin{equation} \begin{split}
(A)~~~~\frac{ dy(t)}{dt }+P(t)y(t)=Q(t)y(t)^n
\end{split} \end{equation} ここで\( n=0\)のときは一階線形微分方程式であり、\( n=1\)のときは同次一階線形微分方程式になるので、それらの場合は比較的簡単に解ける。以下では\( n\neq0,1\)の場合を考える。

ベルヌーイ型微分方程式の解法

\[ \begin{split}
(B)~~~~z=y^{1-n}
\end{split} \]とおく。

両辺を\( t\)で微分して
\[ \begin{split}
(C)~~~~z'=(1-n)y^{-n}y'
\end{split} \]を得る。

\( (A)\)の両辺に\((1-n)y^{-n} \)を掛けると
\[ \begin{split}
(1-n)y^{-n}y'+(1-n)P(t)y^{1-n}=(1-n)Q(t)
\end{split} \] であるから、\( (B)\)と\( (C)\)より
\[ \begin{split}
(D)~~~~z'+(1-n)P(t)z=(1-n)Q(t)
\end{split} \]となり、これは一階線形微分方程式である。


一階線形微分方程式の解法

\( (D)\)の両辺に積分因子\( e^{\int(1-n)P(t)dt}\)を掛けると
\[ \begin{split}
e^{\int(1-n)P(t)dt}z'+(1-n)P(t)e^{\int(1-n)P(t)dt}z&=(1-n)Q(t)e^{\int(1-n)P(t)dt}\\
\Leftrightarrow \frac{ d}{ dt}\left[e^{\int(1-n)P(t)dt}z \right]&=(1-n)Q(t)e^{\int(1-n)P(t)dt}
\end{split} \]と表せる。ここで、左辺の変形に積の微分公式を用いている。

両辺を積分すると
\[ \begin{split}
e^{\int(1-n)P(t)dt}z&=\int(1-n)Q(t)e^{\int(1-n)P(t)dt}dt+c\\
\Leftrightarrow z&=e^{-\int(1-n)P(t)dt}\left\{ \int(1-n)Q(t)e^{\int(1-n)P(t)dt}dt+c\right\}
\end{split} \]となる。右辺の\( c\)は積分定数である。

いま \[ \begin{split}
z=y^{1-n}
\end{split} \]であったので、結局、
\[ \begin{split}
y(t)&=\left[ e^{-\int(1-n)P(t)dt}\left\{ \int(1-n)Q(t)e^{\int(1-n)P(t)dt}dt+c\right\}\right]^{\frac{1}{1-n}}
\end{split} \]となる。

参考文献

[1]微分方程式の解き方再び1 ~ベルヌーイの微分方程式
[2]1階線形微分方程式