マートンのポートフォリオ問題を解く2(価値関数の推測と係数が満たす微分方程式)

 
この連載ではマートンのポートフォリオ問題を解く具体的な流れについて解説する。

HARA型効用を仮定した場合のマートン問題におけるHJB方程式は
\[ \begin{split}
0&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}J_W}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}+J_t\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] J_W-\frac{1}{2}\frac{ J^2_W}{J_{WW}}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \\
\end{split} \]であった。

この記事では、この偏微分方程式を間接効用関数(価値関数)\( J(W_t,t)\)について解く方法をみていく。

この記事は以下の連載の1記事目を踏まえた内容となっているため、合わせて目を通して欲しい。
マートンのポートフォリオ問題を解く1(HARA型効用、ベルマン方程式導出まで)

本記事の内容は下記書籍の内容を参考にしているため、合わせて参照してほしい。

目次





間接効用関数(価値関数)\( J(W,t)\)の推測

間接効用関数\( J(W,t)\)が効用関数
\[ \begin{split}
U(C_t, t)=e^{-\rho t}\frac{ 1-\gamma}{ \gamma}\left(\frac{ \alpha C_t}{1-\gamma }+\beta \right)^\gamma
\end{split} \]と類似の形で表せると「推測」して、時間の関数\(A(t),B(t) \)を用いて
\[ \begin{split}
J(W,t)=A(t)\left(W+B(t) \right)^\gamma
\end{split} \]と表してみよう。

未定係数法や「山勘と確認 (guess and verify)」としても知られている方法である。

このとき、間接効用関数の各偏微分は次の通り表せる。
\[ \begin{split}
J_t&=A'(t)\left(W+B(t) \right)^\gamma+A(t)\gamma B'(t)\left(W+B(t) \right)^{\gamma-1}\\
\\
&=\left\{A'(t)\left(W+B(t) \right)+\gamma A(t)B'(t)\right\}\left(W+B(t) \right)^{\gamma-1}\\
\\
J_W&=A(t)\gamma\left(W+B(t) \right)^{\gamma-1}\\
\\
J_{WW}&=A(t)\gamma\left( \gamma-1\right)\left(W+B(t) \right)^{\gamma-2}\\
\\
\frac{J_W^2 }{J_{WW} }&=\frac{A(t)^2\gamma^2\left(W+B(t) \right)^{2\gamma-2}}{ A(t)\gamma\left( \gamma-1\right)\left(W+B(t) \right)^{\gamma-2}}\\
&=A(t)\frac{\gamma }{\gamma-1 }\left(W+B(t) \right)^{\gamma}\\
\end{split} \]

これらをHJB方程式に代入すると
\[ \begin{split}
0&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}A(t)\gamma\left(W+B(t) \right)^{\gamma-1}}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\\
&~+\left\{A'(t)\left(W+B(t) \right)+\gamma A(t)B'(t)\right\}\left(W+B(t) \right)^{\gamma-1}\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] A(t)\gamma\left(W+B(t) \right)^{\gamma-1}\\
&~-\frac{1}{2}A(t)\frac{\gamma }{\gamma-1 }\left(W+B(t) \right)^{\gamma}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \\
\\
&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}\gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}A(t)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\left(W+B(t) \right)^{\gamma}\\
&~+\left\{A'(t)\left(W+B(t) \right)+\gamma A(t)B'(t)\right\}\left(W+B(t) \right)^{\gamma-1}\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] \gamma A(t)\left(W+B(t) \right)^{\gamma-1}\\
&~-\frac{1}{2}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \frac{\gamma }{\gamma-1 }A(t)\left(W+B(t) \right)^{\gamma}
\end{split} \]
であり、両辺を\( \left(W+B(t) \right)^{\gamma-1}>0\)で割ると
\[ \begin{split}
0&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}\gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}A(t)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\left(W+B(t) \right)\\
&~+A'(t)\left(W+B(t) \right)+\gamma A(t)B'(t)\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] \gamma A(t)\\
&~-\frac{1}{2}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \frac{\gamma }{\gamma-1 }A(t)\left(W+B(t) \right)
\end{split} \]を得る。

この式は\( W\)に関する恒等式になっており、\( W\)の項の係数\( =0\)かつ定数項\( =0\)でなければならない。

以下、この2つの条件式から、間接効用関数の係数\( A(t)\)と\( B(t)\)を求める。


間接効用関数の係数\( A(t)\)の計算

\( W\)の項の係数\( =0\)という条件より、
\[ \begin{split}
0&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}\gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}A(t)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\\
&~+A'(t)+r\gamma A(t)-\frac{1}{2}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \frac{\gamma }{\gamma-1 }A(t)\\
\\
\Leftrightarrow &A'(t)+\left( r\gamma-\frac{1}{2}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \frac{\gamma }{\gamma-1 }\right) A(t)\\
&=-\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ \gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}e^{-{\frac{\rho}{ 1-\gamma}t}}A(t)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\\
\\
\Leftrightarrow &A'(t)+r\nu A(t)\\
&=\xi e^{-{\frac{\rho}{ 1-\gamma}t}}A(t)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\\
\end{split} \]ただし\( \nu=\gamma+\frac{1}{2}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \frac{1}{1-\gamma}\)、\( \xi=-\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ \gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\)とおいた(これらは\( t\)に依存しない)。

\( A(t)\)に関するこの常微分方程式はベルヌーイ型微分方程式と呼ばれ、解き方が知られている

\( z(t)=A(t)^{1-\frac{ \gamma}{\gamma-1 }}=A(t)^\frac{ 1}{1-\gamma }\)とおくと、\(z'= \frac{ 1}{1-\gamma }A(t)^{-\frac{ \gamma}{\gamma-1 }}A'(t)\)である。

\( A(t)\)に関する常微分方程式の両辺に\( \frac{ 1}{1-\gamma }A(t)^{-\frac{ \gamma}{\gamma-1 }}\)を掛けると
\[ \begin{split}
\frac{ 1}{1-\gamma }A(t)^{-\frac{ \gamma}{\gamma-1 }}A'(t)+\frac{ r\nu }{1-\gamma }A(t)^{1-\frac{ \gamma}{\gamma-1 }}\\
=\xi e^{-{\frac{\rho}{ 1-\gamma}t}}\frac{ 1}{1-\gamma }\\
\\
\Leftrightarrow z'+\frac{ r\nu }{1-\gamma }z=\xi e^{-{\frac{\rho}{ 1-\gamma}t}}\frac{ 1}{1-\gamma }\\
\end{split} \]となり、一階線形微分方程式に変形できた。

あとは、両辺に積分因子\( e^{\frac{ r\nu}{1-\gamma } t}\)をかけて
\[ \begin{split}
e^{\frac{ r\nu}{1-\gamma } t}z'+\frac{ r\nu }{1-\gamma }e^{\frac{ r\nu}{1-\gamma } t}z=e^{\frac{ r\nu}{1-\gamma } t}\xi e^{-{\frac{\rho}{ 1-\gamma}t}}\frac{ 1}{1-\gamma }\\
\Leftrightarrow \frac{ d}{ dt}\left[ e^{\frac{ r\nu}{1-\gamma } t}z\right]=\xi e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}t}}\frac{ 1}{1-\gamma }
\end{split} \]両辺を積分して
\[ \begin{split}
e^{\frac{ r\nu}{1-\gamma } t}z&=-\xi\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}t}}\frac{ 1}{1-\gamma }+c\\
\Leftrightarrow z&=e^{-\frac{ r\nu}{1-\gamma } t}\left\{ -\xi\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}t}}\frac{ 1}{1-\gamma }+c\right\}\\
\Leftrightarrow A(t)&=\left[ e^{-\frac{ r\nu}{1-\gamma } t}\left\{ -\xi\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}t}}\frac{ 1}{1-\gamma }+c\right\}\right]^{1-\gamma }
\end{split} \]を得る。

終端条件を\( A(T)=0\)と仮定すれば、
\[ \begin{split}
0&=\left[ e^{-\frac{ r\nu}{1-\gamma } T}\left\{ -\xi\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}T}}\frac{ 1}{1-\gamma }+c\right\}\right]^{1-\gamma }\\
0&=-\xi\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}T}}\frac{ 1}{1-\gamma }+c\\
c&=\xi\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}T}}\frac{ 1}{1-\gamma }
\end{split} \]となるので、
\[ \begin{split}
A(t)&=\left[ e^{-\frac{ r\nu}{1-\gamma } t}\left\{ -\xi\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}t}}\frac{ 1}{1-\gamma }+\xi\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}T}}\frac{ 1}{1-\gamma }\right\}\right]^{1-\gamma }\\

&=\left[ e^{-\frac{ \rho}{1-\gamma } t}e^{\frac{ \rho-r\nu}{1-\gamma } t}\xi\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}\frac{ 1}{1-\gamma }\left\{ -e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}t}}+e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}T}}\right\}\right]^{1-\gamma }\\

&=\left[ -e^{-\frac{ \rho}{1-\gamma } t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ \gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}\frac{ 1}{1-\gamma }\left\{ -1+e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}(T-t)}}\right\}\right]^{1-\gamma }\\

&=\left[ e^{-\frac{ \rho}{1-\gamma } t}\frac{1-\gamma}{ \gamma}\left( \frac{ \gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}\left\{ 1-e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}(T-t)}}\right\}\right]^{1-\gamma }\\

&=e^{-\rho t}\left[ \frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}\left\{ 1-e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}(T-t)}}\right\}\right]^{1-\gamma }\frac{(1-\gamma)^{1-\gamma}}{ \gamma^{1-\gamma}}\left( \frac{ \gamma}{ \alpha}\right)^{-\gamma}\\

&=e^{-\rho t}\left[ \frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}\left\{ 1-e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}(T-t)}}\right\}\right]^{1-\gamma }\frac{1-\gamma}{ \gamma}\frac{(1-\gamma)^{-\gamma}}{ \gamma^{-\gamma}}\left( \frac{ \gamma}{ \alpha}\right)^{-\gamma}\\

&=e^{-\rho t}\frac{1-\gamma}{ \gamma}\left[ \frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}\left\{ 1-e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}(T-t)}}\right\}\right]^{1-\gamma }\left( \frac{\alpha}{ 1-\gamma}\right)^{\gamma}\\
\end{split} \]が得られる。


間接効用関数の係数\( B(t)\)の計算

簡略化したHJB方程式\[ \begin{split}
0&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}\gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}A(t)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\left(W+B(t) \right)\\
&~+A'(t)\left(W+B(t) \right)+\gamma A(t)B'(t)\\
&~+\left[rW_t+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\right] \gamma A(t)\\
&~-\frac{1}{2}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \frac{\gamma }{\gamma-1 }A(t)\left(W+B(t) \right)
\end{split} \]について、定数項\( =0\)の条件から、
\[ \begin{split}
0&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}\gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}A(t)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}B(t)\\
&~+A'(t)B(t)+\gamma A(t)B'(t)\\
&~+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\gamma A(t)\\
&~-\frac{1}{2}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \frac{\gamma }{\gamma-1 }A(t)B(t)\\
\\
\Leftrightarrow 0&=\left\{ e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}\gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}A(t)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\right.\\
&~\left.+A'(t)-\frac{1}{2}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \frac{\gamma }{\gamma-1 }A(t)\right\}B(t)\\
&~+\gamma A(t)B'(t)\\
&~+{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\gamma A(t)
\end{split} \]となるが、\( \left\{ \right\}\)の中は\( -r\gamma A(t)\)に等しいことがわかる。

なぜなら、\( W\)の係数\( =0\)の条件から得た\( A(t)\)に関する式により
\[ \begin{split}
0&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}\gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}A(t)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\\
&~+A'(t)+r\gamma A(t)-\frac{1}{2}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \frac{\gamma }{\gamma-1 }A(t)\\
\\
\Leftrightarrow -r\gamma A(t)&=e^{-\rho t}\frac{ \left( 1-\gamma\right)^2}{ \gamma}\left( \frac{ e^{\rho t}\gamma}{ \alpha}\right)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}A(t)^{\frac{ \gamma}{ \gamma-1}}\\
&~+A'(t)-\frac{1}{2}\frac{ (\mu-r)^2}{\sigma^2 } \frac{\gamma }{\gamma-1 }A(t)
\end{split} \]だからである。

したがって\( B(t)\)に関する式は更に簡単に
\[ \begin{split}
-r\gamma A(t)B(t)+\gamma A(t)B'(t)&=-{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}\gamma A(t)\\
\Leftrightarrow -r B(t)+B'(t)&=-{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}
\end{split} \]と表せる。
これは一階線形微分方程式であるため、積分因子\( e^{-rt}\)をかけて
\[ \begin{split}
-re^{-rt} B(t)+e^{-rt}B'(t)&=-{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}e^{-rt}\\
\\
\Leftrightarrow \frac{ d}{ dt}\left[ e^{-rt}B(t)\right]&=-{\frac{(1-\gamma)\beta }{ \alpha}}e^{-rt}\\
\\
\Leftrightarrow e^{-rt}B(t)&={\frac{(1-\gamma)\beta }{ r\alpha}}e^{-rt}+c\\
\\
\Leftrightarrow B(t)&=e^{rt}\left\{ {\frac{(1-\gamma)\beta }{ r\alpha}}e^{-rt}+c\right\}\\
&=\frac{(1-\gamma)\beta }{ r\alpha}+ce^{rt}
\end{split} \]となる。\( c\)は積分定数である。

終端条件を\( B(T)=0\)と仮定すれば、
\[ \begin{split}
B(T)&=\frac{(1-\gamma)\beta }{ r\alpha}+ce^{rT}=0\\
\Leftrightarrow c&=-\frac{(1-\gamma)\beta }{ r\alpha}e^{-rT}
\end{split} \]となるので、

\[ \begin{split}
B(t)&=\frac{(1-\gamma)\beta }{ r\alpha}-\frac{(1-\gamma)\beta }{ r\alpha}e^{-rT}e^{rt}\\
&=\frac{(1-\gamma)\beta }{ r\alpha}\left(1-e^{-r(T-t)} \right)
\end{split} \]となる。


間接効用関数(価値関数)の確認

\( A(t)\)と\( B(t)\)が求まったので、間接効用関数\( J(W,t)\)の推測した式に当てはめてみると、
\[ \begin{split}
J(W,t)&=A(t)\left(W+B(t) \right)^\gamma\\
&=e^{-\rho t}\frac{1-\gamma}{ \gamma}\left[ \frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}\left\{ 1-e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}(T-t)}}\right\}\right]^{1-\gamma }\\
&~\times\left( \frac{\alpha}{ 1-\gamma}\right)^{\gamma}\left(W+B(t) \right)^\gamma\\

&=e^{-\rho t}\frac{1-\gamma}{ \gamma}\left[ \frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}\left\{ 1-e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}(T-t)}}\right\}\right]^{1-\gamma }\\
&~\times\left(\frac{\alpha W}{ 1-\gamma}+\frac{\alpha}{ 1-\gamma}B(t) \right)^\gamma\\

&=e^{-\rho t}\frac{1-\gamma}{ \gamma}\left[ \frac{ 1-\gamma}{\rho-r\nu}\left\{ 1-e^{-{\frac{\rho-r\nu}{ 1-\gamma}(T-t)}}\right\}\right]^{1-\gamma }\\
&~\times\left(\frac{\alpha W}{ 1-\gamma}+\frac{\beta }{ r}\left(1-e^{-r(T-t)} \right) \right)^\gamma\\
\end{split} \]となる。

この間接効用関数は、Martonの論文集[1]や、それを引用した[3]と一致している(Martonの原論文[4]は係数に誤りがある)。

参考文献

[1]Marton, Continuous-Time Finance
[2]Pennacchi, Theory of Asset Pricing
[3]Poon, Advanced Finance Theories
[4]Marton, Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model