本記事では、マリアヴァン解析における重要概念である「マリアヴァン微分」「スコロホッド積分」の定義を簡単に述べる。
また、両者の随伴性(双対性)に関する命題を紹介する。
本記事は下記書籍の内容を参考にしており、本記事で省いた証明の詳細も載っているため、合わせて参照してほしい。
マリアヴァン解析はウィーナー過程(ブラウン運動)が作る空間における微積分学であり、ウィーナー過程の汎関数に対する微分作用素=マリアヴァン微分が基礎的な概念である。
マリアヴァン解析の概略、応用分野、参考文献等については、下記記事に詳しく述べられている。
【マリアヴァン解析】概要、応用、おすすめテキスト、そしてマリアヴァン解析に自信ニキ
H=L2(R+)H=L2(R+)とおき、任意のh∈Hh∈Hに対して、ウィーナー積分
B(h)=∫∞0h(t)dBtを考える。
Hはヒルベルト空間になっており、マリアヴァン微分を定義するのに重要な役割を果たす。
集合Sとして、以下のような形をした確率変数Fの集合を考える。
F=f(B(h1),⋯,B(hn))ただしfはRn上で無限回微分可能で、その偏微分係数とともにたかだか多項式増大であるものであり、またhi∈Hである。
F∈Sであるとき、Fの微分DFを
DtF=n∑i=i∂f∂xi(B(h1),⋯,B(hn))hi(t)で定義する。このときは、DFはH−値確率変数となる。
マリアヴァン微分作用素Dtは、微分作用素
dd(dBt)と考えるとイメージが湧きやすい。
実際、1次元の場合に形式な計算をしてみると、
dd(dBt)F=dd(dB(t))f(∫∞0h(t)dBt)=f′(∫∞0h(t)dBt)dd(dBt)(∫∞0h(t)dBt)=f′(∫∞0h(t)dBt) ×dd(dBt)(h(0)dB0+h(Δt)dBΔt+⋯+h(t)dBt+⋯)=f′(B(h))h(t)となり、マリアヴァン微分の定義と一致する。
マリアヴァン微分の定義から、確率変数の積FGに対して、そのマリアヴァン微分は以下のように計算される。
Dt(FG)=FDtG+GDtF
滑らかな確率過程u=(ut)t≥0で
ut=n∑j=1Fjhj(t) (Fj∈S,hj∈H)であるようなものの集合をSHと表す。
定義(スコロホッド積分、発散作用素)
u∈SHに対して、uの発散δ(u)を
δ(u)=n∑j=1FjB(hj)−n∑j=1⟨DFj,hj⟩Hと定義する。ただし⟨DF,h⟩HはDFとhの内積で、
⟨DF,h⟩H=∫∞0DtFh(t)dtである。
なぜ発散作用素が、スコロホッド「積分」と呼ばれているのかを説明しよう。
F=1のとき、
δ(u)=n∑j=1B(hj)=n∑j=1∫∞0hi(t)dBtとなり、これはウィーナー「積分」の和となる。
したがって、発散作用素はウィーナー積分の一般化とみなすことができるため、スコロホッド「積分」と呼ばれているのである。
命題(随伴性、双対性)
F∈Sとu∈SHに対して
E(Fδ(u))=E(⟨DF,u⟩H)が成り立つ。
証明
簡単に1次元の場合を考える。
u∈SHを一つとり
u=Ghと表す。このときスコロホッド積分の定義より
δ(u)=GB(h)−⟨DG,h⟩Hである。
次の補題を用意する。
補題
E(G⟨DF,h⟩H)=E(−F⟨DG,h⟩H+FGB(h))
補題の証明は、E(⟨DF,h⟩H)=E(FB(h))を示し、FをFGで置き換えれば得られる。この等式は部分積分の公式と、正規分布の密度関数pに関する(∂p/∂x=−xp)という関係を用いて得られる。
この補題を用いると、
E(⟨DF,u⟩H)=E(⟨DF,Gh⟩H)=E(G⟨DF,h⟩H)=E(−F⟨DG,h⟩H+FGB(h))=E(F(GB(h)−⟨DG,h⟩H))=E(Fδ(u))となり、マリアヴァン微分とスコロホッド積分が随伴(双対)の関係にあることがわかる。
本記事では随伴性(adjointness)と双対性(duality)を特に区別なく使っているが、一般に双対のほうが「対」を意味する広い概念であり、随伴(随伴作用素)はヒルベルト空間上で定義される内積に関する概念である。
参考文献[1]ではマリアヴァン微分とスコロホッド積分の随伴性を「duality relationship(双対関係)」と呼ぶ箇所がある(p.88)。
[2]Peter K. Friz "An Introduction to Malliavin Calculus"" link(pdf)
また、両者の随伴性(双対性)に関する命題を紹介する。
本記事は下記書籍の内容を参考にしており、本記事で省いた証明の詳細も載っているため、合わせて参照してほしい。
目次
- マリアヴァン解析とはなにか
- 設定
- マリアヴァン微分(Malliavin derivative、微分作用素)
- スコロホッド積分(Skorohod integral、発散作用素)
- マリアヴァン微分とスコロホッド積分の随伴性(双対性)
- 参考文献
マリアヴァン解析とはなにか
マリアヴァン解析とは、Paul Malliavinによって創始された確率解析・関数解析の一分野である。マリアヴァン解析はウィーナー過程(ブラウン運動)が作る空間における微積分学であり、ウィーナー過程の汎関数に対する微分作用素=マリアヴァン微分が基礎的な概念である。
マリアヴァン解析の概略、応用分野、参考文献等については、下記記事に詳しく述べられている。
【マリアヴァン解析】概要、応用、おすすめテキスト、そしてマリアヴァン解析に自信ニキ
設定
B=(Bt)t≥0B=(Bt)t≥0を確率空間(Ω,F,P)(Ω,F,P)上のブラウン運動とし、FFはBBから生成されるσ−σ−集合族とする。H=L2(R+)H=L2(R+)とおき、任意のh∈Hh∈Hに対して、ウィーナー積分
B(h)=∫∞0h(t)dBtを考える。
Hはヒルベルト空間になっており、マリアヴァン微分を定義するのに重要な役割を果たす。
集合Sとして、以下のような形をした確率変数Fの集合を考える。
F=f(B(h1),⋯,B(hn))ただしfはRn上で無限回微分可能で、その偏微分係数とともにたかだか多項式増大であるものであり、またhi∈Hである。
マリアヴァン微分(Malliavin derivative、微分作用素)
定義(マリアヴァン微分、微分作用素)F∈Sであるとき、Fの微分DFを
DtF=n∑i=i∂f∂xi(B(h1),⋯,B(hn))hi(t)で定義する。このときは、DFはH−値確率変数となる。
マリアヴァン微分作用素Dtは、微分作用素
dd(dBt)と考えるとイメージが湧きやすい。
実際、1次元の場合に形式な計算をしてみると、
dd(dBt)F=dd(dB(t))f(∫∞0h(t)dBt)=f′(∫∞0h(t)dBt)dd(dBt)(∫∞0h(t)dBt)=f′(∫∞0h(t)dBt) ×dd(dBt)(h(0)dB0+h(Δt)dBΔt+⋯+h(t)dBt+⋯)=f′(B(h))h(t)となり、マリアヴァン微分の定義と一致する。
マリアヴァン微分の定義から、確率変数の積FGに対して、そのマリアヴァン微分は以下のように計算される。
Dt(FG)=FDtG+GDtF
また、Fがウィーナー汎関数(確率積分)を含まない関数であるときには、定義より
DtF=0となる。スコロホッド積分(Skorohod integral、発散作用素)
次にスコロホッド積分(発散作用素)を導入しよう。滑らかな確率過程u=(ut)t≥0で
ut=n∑j=1Fjhj(t) (Fj∈S,hj∈H)であるようなものの集合をSHと表す。
定義(スコロホッド積分、発散作用素)
u∈SHに対して、uの発散δ(u)を
δ(u)=n∑j=1FjB(hj)−n∑j=1⟨DFj,hj⟩Hと定義する。ただし⟨DF,h⟩HはDFとhの内積で、
⟨DF,h⟩H=∫∞0DtFh(t)dtである。
なぜ発散作用素が、スコロホッド「積分」と呼ばれているのかを説明しよう。
F=1のとき、
δ(u)=n∑j=1B(hj)=n∑j=1∫∞0hi(t)dBtとなり、これはウィーナー「積分」の和となる。
したがって、発散作用素はウィーナー積分の一般化とみなすことができるため、スコロホッド「積分」と呼ばれているのである。
マリアヴァン微分とスコロホッド積分の随伴性(双対性)
発散作用素は微分作用素の随伴であり、次の命題が成り立つ。命題(随伴性、双対性)
F∈Sとu∈SHに対して
E(Fδ(u))=E(⟨DF,u⟩H)が成り立つ。
証明
簡単に1次元の場合を考える。
u∈SHを一つとり
u=Ghと表す。このときスコロホッド積分の定義より
δ(u)=GB(h)−⟨DG,h⟩Hである。
次の補題を用意する。
補題
E(G⟨DF,h⟩H)=E(−F⟨DG,h⟩H+FGB(h))
補題の証明は、E(⟨DF,h⟩H)=E(FB(h))を示し、FをFGで置き換えれば得られる。この等式は部分積分の公式と、正規分布の密度関数pに関する(∂p/∂x=−xp)という関係を用いて得られる。
この補題を用いると、
E(⟨DF,u⟩H)=E(⟨DF,Gh⟩H)=E(G⟨DF,h⟩H)=E(−F⟨DG,h⟩H+FGB(h))=E(F(GB(h)−⟨DG,h⟩H))=E(Fδ(u))となり、マリアヴァン微分とスコロホッド積分が随伴(双対)の関係にあることがわかる。
本記事では随伴性(adjointness)と双対性(duality)を特に区別なく使っているが、一般に双対のほうが「対」を意味する広い概念であり、随伴(随伴作用素)はヒルベルト空間上で定義される内積に関する概念である。
参考文献[1]ではマリアヴァン微分とスコロホッド積分の随伴性を「duality relationship(双対関係)」と呼ぶ箇所がある(p.88)。
参考文献
[1]Nualart "Introduction to Malliavin Calculus" Amazon link[2]Peter K. Friz "An Introduction to Malliavin Calculus"" link(pdf)
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